В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=10$ и $BC=2\sqrt{11}$ . Длины боковых рёбер пирамиды $SA=2\sqrt{7}$ , $SB=8\sqrt{2}$ , $SD=6\sqrt{2}$.

а) Докажите, что плоскость $SAC$ перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми $SC$ и $BD$.

В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=5\sqrt{2}$ и $BC=\sqrt{14}$ . Длины боковых рёбер пирамиды $SA=6$ , $SB=\sqrt{86}$ , $SD=5\sqrt{2}$.

а) Докажите, что прямые $SA$ и $BD$ перпендикулярны.
б) Найдите угол между прямыми $SC$ и $BD$.

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ через середины боковых рёбер $SA$ и $SB$ перпендикулярно основанию $ABC$ проведена плоскость $\alpha$ .

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит медиану $CE$ основания пирамиды в отношении 5 : 1, считая от вершины $C$ .
б) Найдите объём пирамиды с вершиной в точке $C$ , основанием которой служит сечение пирамиды $SABC$ плоскостью $\alpha$ , если $AB=12$ , $SA=\sqrt{219}$ .

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ через середины боковых рёбер $SA$ и $SB$ перпендикулярно основанию $ABC$ проведена плоскость $\alpha$ .

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит медиану $CE$ основания пирамиды в отношении 5 : 1, считая от вершины $C$ .
б) Найдите объём пирамиды с вершиной в точке $E$ , основанием которой служит сечение пирамиды $SABC$ плоскостью $\alpha$ , если $AB=30$ , $SA=20$ .

В правильной треугольной пирамиде $MABC$ двугранный угол при основании равен $\mathrm{arctg}3$ . Через точку $K$ ребра $MC$ и вершины $A$ и $B$ проходит плоскость $\alpha$ так, что площадь сечения пирамиды плоскостью $\alpha$ относится к площади основания как $3:\sqrt{13}$ .

а) Докажите, что прямая $MC$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ .
б) Найдите объём пирамиды $MABK$ , если объём пирамиды $MABC$ равен $52\sqrt{5}$ .

В правильной треугольной пирамиде $MABC$ двугранный угол при основании равен $\arccos \frac{3\sqrt{58}}{58}$ . Через точку $K$ ребра $MC$ и вершины $A$ и $B$ проходит плоскость $\alpha$ так, что площадь сечения пирамиды плоскостью $\alpha$ относится к площади основания как $7:\sqrt{85}$ .

а) Докажите, что прямая $MC$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ .
б) Найдите объём пирамиды $MABK$ , если объём пирамиды $MABC$ равен $170\sqrt{2}$ .

В основании прямой призмы $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ лежит прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ . Точка $M$ — середина ребра $B_1{C}_1$ , точка $N$ лежит на ребре $AC$ , причём $AN:NC=8:1$ . Катет $AC$ втрое больше бокового ребра $A{A}_1$ призмы.

а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна прямой $C{A}_1$ .
б) Найдите угол между прямой $MN$ и плоскостью основания $A_1{B}_1{C}_1$ , если $\sin \angle CBA=\frac{3}{5}$ .

В основании прямой призмы $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ лежит прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ . Точка $M$ — середина ребра $B_1{C}_1$ , точка $N$ лежит на ребре $AC$ , причём $AN:NC=3:1$ . Катет $AC$ вдвое больше бокового ребра $A{A}_1$ призмы.

а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна прямой $C{A}_1$ .
б) Найдите угол между прямой $MN$ и плоскостью основания $A_1{B}_1{C}_1$ , если $\cos \angle CBA=\frac{3}{5}$ .

В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со стороной $AB=6$ и диагональю $BD=11$ . Все боковые рёбра пирамиды равны 6. На диагонали $BD$ основания $ABCD$ отмечена точка $E$ , а на ребре $AS$ — точка $F$ так, что $SF=BE=5$ .

а) Докажите, что плоскость $CEF$ параллельна ребру $SB$ .
б) Плоскость $CEF$ пересекает ребро $SD$ в точке $Q$ . Найдите расстояние от точки $Q$ до плоскости $ABC$ .

В правильной четырёхугольной призме $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ сторона $AB$ основания равна 4, а боковое ребро $A{A}_1$ равно $2\sqrt{2}$ . На рёбрах $BC$ и $C_1{D}_1$ отмечены точки $K$ и $L$ соответственно, причём $CK=3$ , а $C_{1}L=1$ . плоскость $\gamma$ параллельна прямой $BD$ и сподержит точки $K$ и $L$ .

а) Докажите, что прямая $A_{1}C$ перпендикулярна плоскости $\gamma$.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка $A_1$ , а основание — сечение данной призмы плоскостью $\gamma$ .

Основанием правильной треугольной пирамиды $MABC$ служит треугольник $ABC$ со стороной 6. Ребро $MA$ перпендикулярно грани $MBC$ . Через вершину пирамиды $M$ и середины рёбер $AC$ и $BC$ проведена плоскость $\alpha$ .

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ является равносторонним треугольником.
б) Найдите угол между плоскостью $\alpha$ и ребром $MC$ .

Основанием правильной треугольной пирамиды $MABC$ служит треугольник $ABC$ со стороной $2\sqrt{3}$ . Ребро $MA$ перпендикулярно грани $MBC$ . Через вершину пирамиды $M$ и середины рёбер $AC$ и $BC$ проведена плоскость $\alpha$ .

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ является равносторонним треугольником.
б) Найдите расстояние от вершины $A$ до плоскости $\alpha$ .

Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с основанием $ABCD$ . Из точки $B$ опущен перпендикуляр $BH$ на плоскость $SAD$ .

а) Докажите, что $\angle AHC=90°$ .
б) Найдите объём пирамиды, если $HA=2$ и $HC=2\sqrt{17}$ .